Засуньте свой антиспин себе в... антиспин!

Вот такое смелое название я решил выбрать, что бы поделиться несколькими картинками и наблюдениями, которые стали итогом овощения на обеденных перерывах)
Может быть идея не нова, но в подробностях я пока нигде не видел...

Как вы наверное знаете из последних тек блогов Dex'a, движение реквизита может быть описано параметрическими формулами:

X = A∙sin(t) + B∙sin(m∙t)
Y = A∙cos(t) + B∙cos(m∙t),

т.е. движение описывается системой из первой точки (руки), движущейся по окружности радиусом А, и второй точки (собственно, пои), движущейся по окружности радиуса B вокруг первой точки. Здесь "m" - коэффициент, отражающий количество оборотов пои за один круг, сделанный рукой, а его знак показывает направление ("+" спин, "-" антиспин). Кстати иронично, что именно дробность m отличает дробные цветки от обычных.
Довольно несложно. Но что если рука двигается не по кругу, а по квадрату? Или по кресту или даже цветку?
Для начала, чтобы слегка изменить траекторию руки, давайте введём "k"-фактор, как степенной показатель (значок ^ означает "в степени") в части отвечающей траектории руки:

X = A∙sin(t)^k + B∙sin(m∙t)
Y = A∙cos(t)^k + B∙cos(m∙t)

Здесь для простоты я буду подразумевать, что длина реквизита равна длине руки, т.е. A=B.
Т.к. "k"-фактор по понятным причинам имеет смысл только при положительных нечетных значениях, посмотрим как же эволюционируют привычные четырех лепестные цветки при увеличении k c одного до пяти (случай k=3 примерно отражает квадрат, а k≥5 - крест):

Зелёным цветом обозначена траектория руки, красным - траектория реквизита.

Как видно, при увеличении k разница между рисунками спина и антиспина всё меньше. В принципе, ничего удивительного здесь нет, и в этом легко убедиться на практике.
Или такой же пример, только уже ни крест, а квадрат (но руки движутся по-прежнему по кресту):

Здесь и вовсе забавно, антиспин становится всё больше похож на спин, а спин наоборот на антиспин.

Что же будет, если рисовать рукой цветки ?
Не буду вдаваться в формулы - не думаю, что это кому-то интересно, - посмотрим сразу красивые картинки!
Вот, например, что получится, если реквизит делает 4 антиспиновых лепестка за цикл, а рука в свою очередь двигается по 4х-лепестному спину и антиспину (надеюсь, тут ясно, что здесь антиспиново относительно чего ):

Или вот что получится, если инструмент вести по 4х-лепестному спину (точнее, просто 4 оборота за цикл), а руку вести опять-таки в спине или антиспине:

Вообще, играясь с параметрами, я нашёл много чудных картинок, и увидел пару очевидных фишек, например, что если двигать руку по линии, то спин и антиспин дают одну и ту же тупую
картинку (подумать только ).
Вот еще кучка картинок просто полюбоваться тем, что теоретически возможно сделать (причем это самые простые в "один проход"):

Т.е. как вы понимаете есть еще к чему стремиться

Rem